陶哲轩（Terence Tao）因为要在赶飞机时系鞋带，想到一个简单的数学题——应该在电动步道上系鞋带，还是在普通路段上系鞋带？

本文对此问题及其衍生问题进行了代数推导（虽然凭感觉就能得到答案）。

陶哲轩是当代著名的数学家，在 31 岁时就获得了菲尔兹奖

问题描述

原问题于 2008 年发布在他的博客上：

前几天我在一个机场，要从航站楼的一端到另一端。想到了下面这个简单的数学问题：

假设你试图从一个端点 A 到另一个端点 B。（为简单起见，假设路径是一条线段）。航站楼的某些部分有电动步道；其他部分没有。你的步行速度是一个常数 v，但在电动步道上，它会被人行道的速度 u 提升，从而得到净速度 v+u。你的目标是以最短的时间从 A 到 B。

  1. 假设你需要暂停一段时间，比如系鞋带。在电动步道上暂停，还是在电动步道上暂停，哪个更有效率？假设两种情况下所需的时间是相同的。
  2. 假设你有一定量的能量可以跑步，从而提高你的速度到一个更高的速度 v’（或者 v’+u，如果你在电动步道上）。在电动步道上跑步，还是在电动步道上跑步，哪个更有效率？假设两种情况下的能量消耗是相同的。
  3. 如果考虑到狭义相对论的各种影响，上述问题的答案会改变吗？（这当然是一个学术问题，而不是一个实际问题。应该最小化的是机场框架中的时间）

在 MasterClass 中，陶哲轩说当时他做了一些代数运算，解出了第一个问题，并赶上了飞机。本文就是对这三个问题做代数计算。

解答

1. 在哪里系鞋带

设 $s_1$ 表示普通路段的长度，$s_2$ 表示电动步道路段的长度，$u$ 表示电动步道的速度，$v$ 表示行人的速度，$\Delta{t}$ 表示暂停的时间。

$$ \begin{aligned} t_A&=\frac{s_1}{v}+\Delta{t}+\frac{s_2}{u+v} \\ t_B&=\frac{s_1}{v}+\frac{s_2-u\Delta{t}}{u+v}+\Delta{t} \\ t_A-t_B &=\frac{u\,\Delta{t}}{u+v} > 0 \end{aligned} $$

$t_A>t_B$，所以在电动步道上停下来系鞋带会花费更少的时间。

2. 在哪里跑步

主要受到路面阻力的影响，只和相对速度有关。花费相同的能量，跑步的时间是相同的。

设 $\Delta{t}$ 表示跑步的时间，$v_2$ 表示跑步后的速度（$v_2>v$）

$$ \begin{aligned} t_A &=\frac{s_1-v_2\,\Delta{t}}{v}+\Delta{t}+\frac{s_2}{u+v} \\ t_B &=\frac{s_1}{v}+\frac{s_2-u\,\Delta{t}}{u+v}+\Delta{t} \\ t_A-t_B&=\frac{u\,\Delta{t}\,(v-v_2)}{v(u+v)} < 0 \end{aligned} $$

$t_A< t_B$，所以在普通路段跑步会花费更少的时间。

3. 考虑狭义相对论，重新计算上述问题

3.1 系鞋带

设 $s_1$ 表示普通路段的长度，$s_2$ 表示电动步道路段的长度，$u$ 表示电动步道的速度，$v$ 表示行人的速度，$\Delta{t}$ 表示对于人而言暂停的时间。

$\gamma(u)$ 表示相对论因子：

$$ \gamma(u)=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}} $$

速度合成公式：

$$ u \oplus v =\frac{u+v}{1+\frac{u\,v}{c^2}} $$

两种选择的时间：

$$ \begin{aligned} t_A &=\frac{s_1}{v}+\Delta{t}+\frac{s_2}{u\oplus v} \\ t_B&=\frac{s_1}{v}+\frac{s_2-u\,\Delta{t}\,\gamma(u)}{u\oplus v}+\Delta{t}\,\gamma(u) \\ t_A-t_B&=\frac{\left(u+v-\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}\,v\right)\,\Delta{t}}{u+v} > 0 \end{aligned} $$

注意到 $\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}} < 1$，所以 $v > \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}\,v$，所以 $t_A>t_B$

在电动步道上停下来系鞋带会花费更少的时间。

3.2 跑步

同样，消耗相同的能量，认为跑步的时间是相同

$$ \begin{aligned} t_A&=\frac{s_1-v_2\,\Delta{t}}{v}+\Delta{t}+\frac{s_2}{u\oplus v} \\ t_B&=\frac{s_1}{v}+\frac{s_2-(u\oplus v_2)\,\Delta{t}\,\gamma(u)}{u\oplus v}+\Delta{t}\,\gamma(u) \\ t_A-t_B&=\frac{\left(v-v_2\right) \left(c^2 (u+v-v \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}})+u \, v_2 (u+v)\right)}{v (u+v) \left(c^2+u \,v_2\right)} < 0 \end{aligned} $$

由于 $v< v_2$，所以 $t_A< t_B$。

在普通路段跑步会花费更少的时间。

综上所述，两个结论均在狭义相对论下成立。

总结

经过无聊的代数运算，我们得到了两个结论：

  1. 在电动步道上停下来系鞋带会花费更少的时间。
  2. 在普通路段跑步会花费更少的时间。

并且在狭义相对论下也成立。

这两个结论是符合直觉的。对于第一个问题，A 在电动步道上停下来系鞋带，B 在普通路段上停下来系鞋带，在系鞋带的时间里，A 多移动了一段距离，所以应该在电动步道上停下来系鞋带。

在第三个问题中，我们假设加速度是无穷大，而如果在相对论下考虑加速过程的时间，就很复杂了。

后记

数学，存在于生活的各个角落。 生物的遗传、博弈的策略，由概率描述； 弦的振动、天线的接收，背后是相似的微分方程。

数学不只是解决问题，也是关于获得洞察力的学问，看到这两件事以一种以前没有人认为可能的方式联系在一起。